初中时代的一个证明题,困惑我太久了

deng123
等等 2017-02-07 字数 48
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如图。AB、AC是圆的切线,EF是圆的直径。求证AD⊥EF

PreUnivEdu 中小学数理化
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underwriter
Reinsurer 2017-02-08

这个貌似不是初中的内容可以解决的

因为在国外旅游逛街,大致写个过程,用到圆的极线的概念,可以去百度一下相关内容。

如果BC平行于EF,容易证明

如果不平行,延长BC交EF于Z,连接EB,FC并分别延长交于Y。连接YD并交于EF于H点,交圆于G

由于B,C, Z共线,且YD,BF,CE共点,由梅涅劳斯和赛瓦定理,得到 ZE/ZF= HE/HF,因为EG垂直于FG,容易证明,EG和FG是三角形ZGH中角G的内外角平分线。

又因为 BF垂直YE,CE垂直于YF所以YH垂直于EF,所以容易证明,角EFG等于角EGH等于角ZGE,所以ZG是圆的切线。

因为BC是A点的极线,且Z在BC上,根据配极定理,A也在Z点的极线上,因为ZG是切线,且GH垂直于直径EF,则YD是Z的极线,则A在YD上,所以A,Y,D共线

所以AD垂直于EF

【 在 deng123 的大作中提到: 】

: 如图。AB、AC是圆的切线,EF是圆的直径。求证AD⊥EF

deng123
等等 2017-02-08

不明觉厉

容。

【 在 underwriter (Reinsurer) 的大作中提到: 】

: 这个貌似不是初中的内容可以解决的

: 因为在国外旅游逛街,大致写个过程,用到圆的极线的概念,可以去百度一下相关内

: 如果BC平行于EF,容易证明

: ...................

underwriter
Reinsurer 2017-02-08

这个极线是射影几何的一部分内容,可以解决切线相关很多比较复杂的问题

【 在 deng123 的大作中提到: 】

: 不明觉厉

: 容。

cooooldog
帅小呆 2017-02-08

没那么复杂。用解析几何的方法,虽然繁琐,可以证明。

比如, 假设圆心为圆点的单位圆,直径取纵坐标轴重合方向。

任取两个点作为切点,用两个角度参数可以写出它们坐标的参数形式

然后可以求出交点,以及过这两个切点的两切线圆外的交点

可以发现两个交点的纵坐标有相同的表达式,从而直线总是水平的,总与直径垂直。

繁琐,但不难。高中应该可以做。

【 在 deng123 (等等) 的大作中提到: 】

: 不明觉厉

: 容。

underwriter
Reinsurer 2017-02-08

解方程太痛苦了。。。

【 在 cooooldog 的大作中提到: 】

: 没那么复杂。用解析几何的方法,虽然繁琐,可以证明。

: 比如, 假设圆心为圆点的单位圆,直径取纵坐标轴重合方向。

: 任取两个点作为切点,用两个角度参数可以写出它们坐标的参数形式

: ...................

cooooldog
帅小呆 2017-02-08

EB 和 FC延长得到一个交点G的话,

可以证明 D 是三角形EFG的垂心,因为直径上的两个圆周角。

退化了的Pascal 定理可以证明三点共线,A点在第三条高GD

上。

两个切点C、B视为圆内接六边形的退化了的两条边,这两条边对应的直线是圆的切线。

【 在 underwriter (Reinsurer) 的大作中提到: 】

: 解方程太痛苦了。。。

underwriter
Reinsurer 2017-02-08

同样的思路,都是射影几何的一部分内容,帕斯卡定理也远超初中内容了。

【 在 cooooldog 的大作中提到: 】

: EB 和 FC延长得到一个交点G的话,

: 可以证明 D 是三角形EFG的垂心,因为直径上的两个圆周角。

: 退化了的Pascal 定理可以证明三点共线,A点在第三条高GD

: ...................

underwriter
Reinsurer 2017-02-08

直接用正弦定理和梅涅劳斯可,相当于推导一遍pascal,可以证明,不用整射影几何这些悬的乎的:)

【 在 cooooldog 的大作中提到: 】

: EB 和 FC延长得到一个交点G的话,

: 可以证明 D 是三角形EFG的垂心,因为直径上的两个圆周角。

: 退化了的Pascal 定理可以证明三点共线,A点在第三条高GD

: ...................

iwannabe
I wanna be 2017-02-09

E(-1,0), F(1,0), B(cosa,sina), C(cosb,sinb)

AB方程 y=-cosa(x-cosa)/sina+sina, AC方程y=-cosb(x-sinb)/sinb+sinb

解出x

EC方程  y=(x+1)*sinb/(cosb+1) , FB方程y=(x-1)sina/(cosa-1)

解出x

很容易证明两者相等

【 在 underwriter (Reinsurer) 的大作中提到: 】

: 标  题: Re: 初中时代的一个证明题,困惑我太久了

: 发信站: 水木社区 (Wed Feb  8 13:27:10 2017), 站内

: 解方程太痛苦了。。。

: 【 在 cooooldog 的大作中提到: 】

: : 没那么复杂。用解析几何的方法,虽然繁琐,可以证明。

: : 比如, 假设圆心为圆点的单位圆,直径取纵坐标轴重合方向。

: : 任取两个点作为切点,用两个角度参数可以写出它们坐标的参数形式

: : ...................

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lgdzsmj
zsmj 2017-02-09

初中知识可以解决

【 在 underwriter 的大作中提到: 】

: 这个貌似不是初中的内容可以解决的

: 因为在国外旅游逛街,大致写个过程,用到圆的极线的概念,可以去百度一下相关内容。

: 如果BC平行于EF,容易证明

: ....................

cooooldog
帅小呆 2017-02-11

你思路对,中间斜率可能需要对对答案

http://blog.csdn.net/stereohomology/article/details/54926503

【 在 iwannabe (I wanna be) 的大作中提到: 】

: E(-1,0), F(1,0), B(cosa,sina), C(cosb,sinb)

: AB方程 y=-cosa(x-cosa)/sina+sina, AC方程y=-cosb(x-sinb)/sinb+sinb

: 解出x

: ...................

pxh
xh 2017-02-12

动图是用什么画的?

【 在 cooooldog (帅小呆) 的大作中提到: 】

: 你思路对,中间斜率可能需要对对答案

: http://blog.csdn.net/stereohomology/article/details/54926503

cooooldog
帅小呆 2017-02-13

从这里转的

http://blog.csdn.net/lcfactorization/article/details/54928998

geogebra很好用

【 在 pxh (xh) 的大作中提到: 】

: 动图是用什么画的?

silentgauss
尘外孤标意琦行 2017-02-24

反证法证的AD=AB=AC即可

MilkyWay
银河 2017-09-16

有意思看似简单识记不简单

【 在 deng123 的大作中提到: 】

: 如图。AB、AC是圆的切线,EF是圆的直径。求证AD⊥EF

zoujd
zoujd 2017-09-16

我说一下我的思路,首先根据切线的定义,圆外任意一点必定有两条切线,从两个切点到圆心做两条辅助线,它们和切线夹角必定是直角,也就是说,两直角相等,两条辅助线都是半径也相等,公用的圆外点到圆心线是同样相等,根据角边边定理,可知两三角形全等。于是员外点到圆心线必定平分底部水平线,则必定是直角垂直。

【 在 deng123 的大作中提到: 】

: 如图。AB、AC是圆的切线,EF是圆的直径。求证AD⊥EF

bonheur
Bonheur 2017-09-16

是否可以从群论出发考察对称性?

设AD与EF相交于G点。

EF是直径,所以∠AGE + ∠AGF = 180°。

在不改变图的情况下交换BC EF,题设条件仍然成立。

因此有<AGE=<AGF。

所以, <AGE=90°。

【 在 deng123 的大作中提到: 】

: 如图。AB、AC是圆的切线,EF是圆的直径。求证AD⊥EF

gdff
刮大风 2017-09-16

已知条件不足吧,假设ab和ac固定,但ef可以随便旋转,不一定垂直。

【 在 deng123 () 的大作中提到: 】

: 如图。AB、AC是圆的切线,EF是圆的直径。求证AD⊥EF

libro
简简单单 2017-09-16

ef随便转,bf和ce的交点也在变,最后还是垂直。

【 在 gdff (刮大风) 的大作中提到: 】

: 标  题: Re: 初中时代的一个证明题,困惑我太久了(4)

: 发信站: 水木社区 (Sat Sep 16 07:11:36 2017), 站内

: 已知条件不足吧,假设ab和ac固定,但ef可以随便旋转,不一定垂直。

: 【 在 deng123 () 的大作中提到: 】

: : 如图。AB、AC是圆的切线,EF是圆的直径。求证AD⊥EF

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