一道题目(矩形)

hyk84
咕咕 2018-06-19 字数 142

有一个大矩形,被划分成很多个小矩形,小矩形的边是跟大矩形的边平行或垂直的,每一个小矩形都至少有一条边长是整数。求证:大矩形也有一条边长是整数。

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37 个回复
zxf
天堂鸟 2018-06-19

这个题目可以转换成下面的题目吧?

小矩形至少有一个边长可以被素数p整除,求证大矩形也有一条边可以被p整除。

【 在 hyk84 (咕咕) 的大作中提到: 】

: 有一个大矩形,被划分成很多个小矩形,小矩形的边是跟大矩形的边平行或垂直的,每一个小矩形都至少有一条边长是整数。求证:大矩形也有一条边长是整数。

hyk84
咕咕 2018-06-19

应该。。可以吧,有证明思路吗?

【 在 zxf 的大作中提到: 】

: 这个题目可以转换成下面的题目吧?

: 小矩形至少有一个边长可以被素数p整除,求证大矩形也有一条边可以被p整除。

gtgtjing
非必要不正经 2018-06-19

归纳法?切掉一条最细整数条?

【 在 hyk84 的大作中提到: 】

: 有一个大矩形,被划分成很多个小矩形,小矩形的边是跟大矩形的边平行或垂直的,每一个小矩形都至少有一条边长是整数。求证:大矩形也有一条边长是整数。

hyk84
咕咕 2018-06-19

想过这个思路,但如何操作是个问题

【 在 gtgtjing 的大作中提到: 】

: 归纳法?切掉一条最细整数条?

hyk84
咕咕 2018-06-19

切掉后似乎还不能保证余下的每个矩形都有一条整数边

【 在 gtgtjing 的大作中提到: 】

: 归纳法?切掉一条最细整数条?

zxf
天堂鸟 2018-06-19

给图形蒙上边长为1/p的四方网格,数格子。

【 在 hyk84 (咕咕) 的大作中提到: 】

: 应该。。可以吧,有证明思路吗?

k998877
dongdong 2018-06-20

能不能转换成:

小矩形至少有一条边是有理数,求证矩形也有一条边是有理数

【 在 zxf (天堂鸟) 的大作中提到: 】

: 这个题目可以转换成下面的题目吧?

: 小矩形至少有一个边长可以被素数p整除,求证大矩形也有一条边可以被p整除。

wyp2k
鹦鹉 2018-06-20

大矩形任一角上的小矩形,有一边为整数,把大矩形切掉该小矩形整数边,证明剩下的

大矩形有边长为整数,递归

【 在 hyk84 (咕咕) 的大作中提到: 】

: 有一个大矩形,被划分成很多个小矩形,小矩形的边是跟大矩形的边平行或垂直的,每一个小矩形都至少有一条边长是整数。求证:大矩形也有一条边长是整数。

gtgtjing
非必要不正经 2018-06-20

怎么证明你说的这个

【 在 wyp2k 的大作中提到: 】

: 大矩形任一角上的小矩形,有一边为整数,把大矩形切掉该小矩形整数边,证明剩下的

: 大矩形有边长为整数,递归

: ...................

wyp2k
鹦鹉 2018-06-20

整数减整数还是整数

【 在 gtgtjing 的大作中提到: 】

: 怎么证明你说的这个

xilct
cici 2018-06-20
xilct
cici 2018-06-20

这个证明似乎是不错的

【 在 wyp2k 的大作中提到: 】

: 大矩形任一角上的小矩形,有一边为整数,把大矩形切掉该小矩形整数边,证明剩下的

: 大矩形有边长为整数,递归

: ...................

eisen
凌寒 2018-06-20

很简单,反证法:1、假设符合条件是,大矩形两条边都不是整数,那么可以得出两条大边上至少各有一条小边不是整数;2、这两条小边对应着一个小矩形,这个小矩形的两条边都不是整数;3、矛盾,得证!

zhcdl
ripley 2018-06-20

没看懂,切分后的大矩形的整数边和切掉的小矩形整数边不一定在一个方向上,得不出结论啊。

【 在 wyp2k 的大作中提到: 】

: 大矩形任一角上的小矩形,有一边为整数,把大矩形切掉该小矩形整数边,证明剩下的

: 大矩形有边长为整数,递归

: ....................

hyk84
咕咕 2018-06-20

对出的小矩形不一定是原先图中的小矩形

【 在 eisen 的大作中提到: 】

: 很简单,反证法:1、假设符合条件是,大矩形两条边都不是整数,那么可以得出两条大边上至少各有一条小边不是整数;2、这两条小边对应着一个小矩形,这个小矩形的两条边都不是整数;3、矛盾,得证!

liano
liano 2018-06-20

把这些小矩形的边当做路径,一直小蚂蚁从原大矩形左上角出发,处女座的蚂蚁只走整数段的矩形边,蚂蚁前进方向只能向右或者向下。

蚂蚁总能到达大矩形右侧或者下侧的边,由于爬过的路径都是整数,对应的大矩形的边也是整数。

这样证明可以么?

【 在 hyk84 的大作中提到: 】:

:有一个大矩形,被划分成很多个小矩形,小矩形的边是跟大矩形的边平行或垂直的,每一个小矩形都至少有一条边长是整数。求证:

hyk84
咕咕 2018-06-20

谢谢你的思路,不过似乎还存在这样一个问题:当蚂蚁走到中间某处,可能位于一条整数边上的某点(非端点),这时不好确定它走的下一条边是整数了。

【 在 liano 的大作中提到: 】

: 把这些小矩形的边当做路径,一直小蚂蚁从原大矩形左上角出发,处女座的蚂蚁只走整数段的矩形边,蚂蚁前进方向只能向右或者向下。

: 蚂蚁总能到达大矩形右侧或者下侧的边,由于爬过的路径都是整数,对应的大矩形的边也是整数。

: 这样证明可以么?

: ...................

wyp2k
鹦鹉 2018-06-20

不需要在一个方向,因为每次都切去整数,所以整数边长始终是整数边长,非整数边长始终是非整数边长

【 在 zhcdl 的大作中提到: 】

: 没看懂,切分后的大矩形的整数边和切掉的小矩形整数边不一定在一个方向上,得不出结论啊。

eisen
凌寒 2018-06-20

条件中给出的就是每个小矩形的边都至少有一条边是整数,怎么就不是原先图中的小矩形了?

看清楚我的假设:按照条件切成若干个小矩形,每个小矩形都至少有一条边是整数,在满足这样的条件下,假设大矩形两条边都不是整数,那么,每条边上至少有一条小边不是整数。这两条小边必定对应着一个小矩形,两条边也都不是整数,矛盾!

【 在 hyk84 的大作中提到: 】

: 对出的小矩形不一定是原先图中的小矩形

: 【 在 eisen 的大作中提到: 】

: : 很简单,反证法:1、假设符合条件是,大矩形两条边都不是整数,那么可以得出两条大边上至少各有一条小边不是整数;2、这两条小边对应着一个小矩形,这个小矩形的两条边都不是整数;3、矛盾,得证!

: ....................